负整数阶乘
Dawn_9839
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2024-05-23 21:35:34
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算法·理论
引入
阶乘函数的定义域是复平面去除所有的负整数点，但为什么会去除所有的负整数？因为(-1)!=\dfrac{(-1+1)!}{(-1+1)}=\dfrac{0!}{0}=\dfrac{1}{0}，而不属于复数集，因此-1没有阶乘函数。
但是最初始的阶乘定义是n!=1·2·3·…(n-1)n，这个对于0本来是没有的，但是为什么会有？
我们知道，定义的扩充往往是为了满足某些需要，0!就是一个例子，这是由于排列、组合数，在这些定义的促使下人们才人为定义出0!=1。
对于负整数，有没有需要扩充呢？我认为，这个需要出现了。
导数公式推导
由初等函数的导数有若f(x)=x^n，则f'(x)=nx^{n-1}。现在，让我们求它的m阶导数，请观察以下式子。
若f(x)=x^n:
f'(x)=nx^{n-1}
f''(x)=n(x^{n-1})'=n(n-1)x^{n-2}
f'''(x)=n(n-1)(x^{n-2})'=n(n-1)(n-2)x^{n-3}
......
仔细观察，易得:
\large f^{(m)}(x)=\dfrac{n!}{(n-m)!}x^{n-m}
这就是x^n的m阶导数公式。
检验
得到一个公式，我们往往会让它符合现有情况。例如(x)'=1，套用公式，这是正确的。
我们很容易知道$(x)''=0$，现在代入公式：
$(x)''=\dfrac{1!}{(1-2)!}x^{1-2}=\dfrac{1}{(-1)!}x^{-1}
如果由函数的定义域，我们会得到$(x)''$无意义，但我们知道$(x)''=0$，矛盾。要解决这个矛盾，只有使$\dfrac{1}{(-1)!}=0$，所以$(-1)!=\dfrac{1}{0}$.
又由简单的递推，我们有：
> 所有负整数的阶乘是0的倒数。
用专业术语说，是：
> $\large \forall x \in \N_+,(-x)!=0^{-1}
结语
实际上，在排列组合中也有类似的情况，例如从3个元素中抽4个排列或组合，肯定都是只有0种方案，但在计算时却出现了(-1)!，这也肯定了以上看法。
在另一种看待方式中，\dfrac{1}{0} \notin \Complex，但是假设它存在，它的倒数又在复数集中，这与虚数i在刚被发现时是一样的道理。所以，尽管(-1)! \notin \Complex，但也不能否认这个数不存在，何况谁知道复平面外的三维空间里有什么！
个人理解，有所不足请指出。